题目内容
已知两点A(-2,0),B(2,0),直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r2(0<r<
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
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4 |
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r2(0<r<
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(Ⅰ)设点M(x,y),KAMKBM=-
,∴
•
=-
.
整理得点M所在的曲线C的方程:
+
=1(x≠±2).
(Ⅱ)把x=1代入曲线C的方程,可得
+
=1,∵y>0,解得y=
,∴点P(1,
).
∵圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),
∴直线PE与直线PF的斜率互为相反数.
设直线PE的方程为y=k(x-1)+
,
联立
,化为
(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,
由于x=1是方程的一个解,
∴方程的另一解为xQ=
.
同理xR=
.
故直线RQ的斜率为kRQ=
=
=
=
.
把直线RQ的方程y=
x+t代入椭圆方程,消去y整理得x2+tx+t2-3=0.
∴|RQ|=
=
.
原点O到直线RQ的距离为d=
.
∴S△ORQ=
•
•
•
=
≤
•
=
.当且仅当t=±
时取等号.
∴△OQR的面积的最大值为
.
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4 |
y |
x+2 |
y |
x-2 |
3 |
4 |
整理得点M所在的曲线C的方程:
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)把x=1代入曲线C的方程,可得
1 |
4 |
y2 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
∵圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),
∴直线PE与直线PF的斜率互为相反数.
设直线PE的方程为y=k(x-1)+
3 |
2 |
联立
|
(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,
由于x=1是方程的一个解,
∴方程的另一解为xQ=
4k2-12k-3 |
4k2+3 |
同理xR=
4k2+12k-3 |
4k2+3 |
故直线RQ的斜率为kRQ=
yR-yQ |
xR-xQ |
-k(xR-1)+
| ||||
xR-xQ |
-k(
| ||
|
1 |
2 |
把直线RQ的方程y=
1 |
2 |
∴|RQ|=
[1+(
|
| ||
2 |
4-t2 |
原点O到直线RQ的距离为d=
|2t| | ||
|
∴S△ORQ=
1 |
2 |
| ||
2 |
4-t2 |
|2t| | ||
|
| ||
2 |
t2(4-t2) |
| ||
2 |
t2+(4-t2) |
2 |
3 |
2 |
∴△OQR的面积的最大值为
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