题目内容

已知两点A(-2,0),B(2,0),直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-
3
4

(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r20<r<
3
2
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
(Ⅰ)设点M(x,y),KAMKBM=-
3
4
,∴
y
x+2
y
x-2
=-
3
4

整理得点M所在的曲线C的方程:
x2
4
+
y2
3
=1
(x≠±2).
(Ⅱ)把x=1代入曲线C的方程,可得
1
4
+
y2
3
=1
,∵y>0,解得y=
3
2
,∴点P(1,
3
2
).
∵圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),
∴直线PE与直线PF的斜率互为相反数.
设直线PE的方程为y=k(x-1)+
3
2

联立
y=k(x-1)+
3
2
x2
4
+
y2
3
=1
,化为
(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,
由于x=1是方程的一个解,
∴方程的另一解为xQ=
4k2-12k-3
4k2+3

同理xR=
4k2+12k-3
4k2+3

故直线RQ的斜率为kRQ=
yR-yQ
xR-xQ
=
-k(xR-1)+
3
2
-k(xQ-1)-
3
2
xR-xQ
=
-k(
8k2-6
4k2+3
-2)
24k
4k2+3
=
1
2

把直线RQ的方程y=
1
2
x+t
代入椭圆方程,消去y整理得x2+tx+t2-3=0.
∴|RQ|=
[1+(
1
2
)2][t2-4(t2-3)]
=
15
2
4-t2

原点O到直线RQ的距离为d=
|2t|
5

S△ORQ=
1
2
15
2
4-t2
|2t|
5
=
3
2
t2(4-t2)
3
2
t2+(4-t2)
2
=
3
.当且仅当t=±
2
时取等号.
∴△OQR的面积的最大值为
3
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