题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为
2
5
5

(1)求椭圆C的方程;
(2)过原点且斜率为
1
2
的直线l,与椭圆交于E,F点,试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角,并写出理由;
(3)P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2,分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.
(1)因为椭圆C的离心率e=
3
2

故设a=2m,c=
3
m,则b=m.
直线A2B2方程为bx-ay-ab=0,
即mx-2my-2m2=0.
所以
2m2
m2+4m2
=
2
5
5
,解得m=1.
所以a=2,b=1,椭圆方程为
x2
4
+y2=1.
(2)由
x2
4
+y2=1及y=
1
2
x
得:
x=±
2
,则E(
2
2
2
),F(-
2
,-
2
2
),
又∵椭圆
x2
4
+y2=1的右焦点F2的坐标为(
3
,0)
F2E
=(
2
-
3
2
2
),
F2F
=(-
2
-
3
,-
2
2
),
F2E
F2F
=(
2
-
3
)×(-
2
-
3
)+
2
2
×(-
2
2
)=
1
2
>0,
∴∠EF2F是锐角
(3)由(1)可知A1(0,1)A2(0,-1),设P(x0,y0),
直线PA1:y-1=
y0-1
x0
x,令y=0,得xN=
x0
y0-1

直线PA2:y+1=
y0+1
x0
x,令y=0,得xM=
x0
y0+1

解法一:设圆G的圆心为(
1
2
x0
y0+1
-
x0
y0-1
),h),
则r2=[
1
2
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)-
x0
y0+1
]2+h2=
1
4
x0
y0+1
+
x0
y0-1
2+h2
OG2=
1
4
x0
y0+1
-
x0
y0-1
2+h2
OT2=OG2-r2=
1
4
x0
y0+1
-
x0
y0-1
2+h2-
1
4
x0
y0+1
+
x0
y0-1
2-h2=
x20
1-
y20

x20
4
+y02=1,所以x02=4(1-y02),所以OT2=4,
所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.…(16分)
解法二:OM•ON=|(-
x0
y0-1
)•
x0
y0+1
|=
x20
1-
y20

x20
4
+y02=1,所以x02=4(1-y02),所以OM•ON=4.
由切割线定理得OT2=OM•ON=4.
所以OT=2,即线段OT的长度为定值2.…(16分)
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