题目内容

在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆
x2
9
+
y2
5
=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0
（1）设动点P满足(
PF
+
PB
)(
PF
-
PB
)=13，求点P的轨迹方程；
（2）设x1=2，x2=
1
3
，求点T的坐标；
（3）若点T在点P的轨迹上运动，问直线MN是否经过x轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
（1）由椭圆
x2
9
+
y2
5
=1可得：a2=9，b2=5，c=
9-5
=2．
∴F（2，0），B（3，0）．
设P（x，y），则
PF
=（2-x，-y），
PB
=（3-x，-y）．
∵满足(
PF
+
PB
)•(
PF
-
PB
)=13，
∴（5-2x，-2y）•（-1，0）=13，
∴2x-5=13，
化简得x=9，
故P的轨迹方程为x=9
（2）由x1=2，
x21
9
+
y21
5
=1及y1＞0得y1=
5
3
，则点M(2，
5
3
)，
从而直线AM的方程为y=
1
3
x+1；
同理可以求得直线BN的方程为y=
5
6
x-
5
2

联立两方程可解得x=7，y=
10
3

∴点T的坐标为(7，
10
3
)．
（3）假设直线MN过定点，由T在点P的轨迹上，T（9，m）
直线AT的方程为y=
m
12
(x+3)，直线BT的方程为y=
m
6
(x-3)
点M（x1，y1）满足
y1=
m
12
(x1+3)
x21
9
+
y21
5
=1
得
(x1-3)(x1+3)
9
=-
m2
122
•
(x1+3)2
5
，
又x1≠3，解得x1=
240-3m2
80+m2
，从而得y1=
40m
80+m2
．
同理：x2=
3m2-60
m2+20
，y2=
-20m
m2+20
．
∴直线MN的方程：y+
20m
m2+20
=
10m
40-m2
(x-
3m2-60
m2+20
)，
练习册系列答案
相关题目
如图，点F是椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
1
2
，三角形ABF的面积为
3
3
2
，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N（M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
如图，抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）2+y2=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与圆M，N相交，且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为
3
：1，试求所有满足条件的点P的坐标．
已知直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于______．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），经过点（3，-2）与向量（-1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求椭圆C长轴长的取值范围；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求椭圆C的方程．
直线l：y=k(x-
2
)与双曲线x2-y2=1仅有一个公共点，则实数k的值为（　　）
A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或0
已知离心率为
6
3
的椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
一束光线从点（0，1）出发，经过直线x+y-2=0反射后，恰好与椭圆x2+
y2
2
=1相切，则反射光线所在的直线方程为______．
抛物线y2=2px（p＞0）上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的
1
2
，求直线MB的方程．

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