Question

18．已知圆C：x²+y²-4x+6y+4=0和直线l：x-y+5=0，求直线l上到圆C距离最小的点的坐标，并求最小距离．

Answer 1

分析 在圆x²+y²-4x+6y+4=0上，与直线x-y+5=0的距离最小的点，必在过圆心与直线x-y+5=0垂直的直线上，求此线与圆的交点即可；最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以只要求得圆心到直线的距离即可．

解答 解：圆的圆心C（2，-3），r=3，过圆心与直线x-y+5=0垂直的直线方程：x+y+1=0，
它与x²+y²-4x+6y+4=0联立，可得2x²-8x-1=0，
直线l上到圆C距离最小的点的坐标是（2-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-3），
最小距离为$\frac{|2+3+5|}{\sqrt{2}}$-3=5$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，直线的方程等知识，是中档题．