题目内容

【题目】如图所示,在四棱锥中,四边形为矩形, 为等腰三角形, ,平面平面,且分别为的中点.

(1)证明: 平面

(2)证明:平面平面

(3)求四棱锥的体积.

【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3).

【解析】试题分析:(1)EF∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行,连AC,根据中位线可知EF∥PA,EF平面PAD,PA平面PAD,满足定理所需条件;

(2平面PAD⊥平面ABCD,根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直,根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD,又CD平面ABCD,满足定理所需条件;

(3)过PPO⊥ADO,从而PO⊥平面ABCD,即为四棱锥的高,最后根据棱锥的体积公式求出所求即可.

解:(1)如图所示,

连接. ∵四边形为矩形,且的中点,

也是的中点. 又的中点, ,

平面 平面.平面

(2) 证明:∵平面平面 ,平面平面

平面. ∵平面,∴平面平面.

(3)取的中点,连接. ∵平面平面 为等腰三角形,

平面,即为四棱锥的高. ∵,∴. 又

∴四棱锥的体积.

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