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【题目】已知α∈[0,π),在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 (t为参数);在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l2的极坐标方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).
(Ⅰ)求证:l1⊥l2
(Ⅱ)设点A的极坐标为(2, ),P为直线l1 , l2的交点,求|OP||AP|的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)证明:直线l1的参数方程为 (t为参数);

消去参数t可得:直线l1的普通方程为:xsinα﹣ycosα=0.

又直线l2的极坐标方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin(α+ ).

即直线l2的直角坐标方程为:xcosα+ysinα﹣2sin(α+ )=0.

因为sinαcosα+(﹣cosα)sinα=0,

根据两直线垂直的条件可知,l1⊥l2

(Ⅱ)当ρ=2, 时,ρcos(θ﹣α)=2cos =2sin(α+ ).

所以点A(2, ),在直线ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ )上.

设点P到直线OA的距离为d,由l1⊥l2可知,d的最大值为 =1.

于是|OP||AP|=d|OA|=2d≤2

所以|OP||AP|的最大值为2


【解析】(Ⅰ)直线l1的参数方程为 (t为参数);消去参数t可得:直线l1的普通方程.又直线l2的极坐标方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin(α+ ).利用互化公式可得直线l2的直角坐标方程,根据两直线垂直的条件即可证明:l1⊥l2.(Ⅱ)当ρ=2, 时,满足方程ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).可得点A(2, ),在直线ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ )上.设点P到直线OA的距离为d,由l1⊥l2可知,d的最大值为 =1.即可得出|OP||AP|=d|OA|=2d最大值.

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