题目内容
【题目】已知α∈[0,π),在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 (t为参数);在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l2的极坐标方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).
(Ⅰ)求证:l1⊥l2
(Ⅱ)设点A的极坐标为(2, ),P为直线l1 , l2的交点,求|OP||AP|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)证明:直线l1的参数方程为 (t为参数);
消去参数t可得:直线l1的普通方程为:xsinα﹣ycosα=0.
又直线l2的极坐标方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin(α+ ).
即直线l2的直角坐标方程为:xcosα+ysinα﹣2sin(α+ )=0.
因为sinαcosα+(﹣cosα)sinα=0,
根据两直线垂直的条件可知,l1⊥l2.
(Ⅱ)当ρ=2, 时,ρcos(θ﹣α)=2cos =2sin(α+ ).
所以点A(2, ),在直线ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ )上.
设点P到直线OA的距离为d,由l1⊥l2可知,d的最大值为 =1.
于是|OP||AP|=d|OA|=2d≤2
所以|OP||AP|的最大值为2
【解析】(Ⅰ)直线l1的参数方程为 (t为参数);消去参数t可得:直线l1的普通方程.又直线l2的极坐标方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin(α+ ).利用互化公式可得直线l2的直角坐标方程,根据两直线垂直的条件即可证明:l1⊥l2.(Ⅱ)当ρ=2, 时,满足方程ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).可得点A(2, ),在直线ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ )上.设点P到直线OA的距离为d,由l1⊥l2可知,d的最大值为 =1.即可得出|OP||AP|=d|OA|=2d最大值.
【题目】网购是当前民众购物的新方式,某公司为改进营销方式,随机调查了100名市民,统计其周平均网购的次数,并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中,年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷,且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关?
网购迷 | 非网购迷 | 合计 | |
年龄不超过40岁 | |||
年龄超过40岁 | |||
合计 |
(2)若从网购迷中任意选取2名,求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望. 附: ;
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |