题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中t为参数),现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)写出直线l和曲线C的普通方程;
(Ⅱ)已知点P为曲线C上的动点,求P到直线l的距离的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)直线l: (其中t为参数),消去参数t得普通方程y=x﹣4.
由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.
由x=ρcosθ,y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2,得
y2+(x﹣2)2=4;
(Ⅱ)由y2+(x﹣2)2=4得圆心坐标为(2,0),半径R=2,
则圆心到直线的距离为:d= =3
,
而点P在圆上,即O′P+PQ=d(Q为圆心到直线l的垂足),
所以点P到直线l的距离最小值为3√2﹣√2=2√2.
【解析】(Ⅰ)消去参数t即可得到直线l的普通方程;利用x=ρcosθ,y=ρsinθ将曲线C转化为普通方程;(Ⅱ)利用点到直线的距离公式,求出P到直线l的距离的最小值,再根据函数取最值的情况求出P点的坐标,得到本题结论.
【考点精析】通过灵活运用直线的参数方程,掌握经过点,倾斜角为
的直线
的参数方程可表示为
(
为参数)即可以解答此题.

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