题目内容

【题目】已知点E(﹣2,0),点P时圆F:(x﹣2)2+y2=36上任意一点,线段EP的垂直平分线交FP于点M,点M的轨迹记为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过F的直线交曲线C于不同的A、B两点,交y轴于点N,已知 =m =n ,求m+n的值.

【答案】解:(Ⅰ)由题意知,|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6>|EF|=4,

故由椭圆定义知,点M的轨迹是以点E,F为焦点,长轴为6,焦距为4的椭圆,从而长半轴长为a=3,短半轴长为b= =

∴曲线C的方程为:

(Ⅱ)由题知F(2,0),

若直线AB恰好过原点,则A(﹣3,0),B(3,0),N(0,0),

=(﹣3,0), =(5,0),则m=

=(3,0), =(﹣1,0),则n=﹣3,

∴m+n=

若直线AB不过原点,设直线AB:x=ty+2,t≠0,

A(ty1+2,y1),B(ty2+2,y2),N(0,﹣ ).

=(ty1+2,y1+ ), =(﹣ty1,﹣y1),

=(ty2+2,y2+ ), =(﹣ty2,﹣y2),

,得y1+ =m(﹣y1),从而m=

,得y2+ =n(﹣y2),从而n=

故m+n= +( )= =﹣2﹣

联立方程组得: ,整理得(5t2+9)y2+20ty﹣25=0,

∴y1+y2=﹣ ,y1y2=

∴m+n=﹣2﹣ =﹣2﹣ =

综上所述,m+n=


【解析】(Ⅰ)求出|ME|+|MF|=6>|EF|=4,判断点M的轨迹是以点E,F为焦点,长轴为6,焦距为4的椭圆,

然后求解方程.(Ⅱ)求出F(2,0),若直线AB恰好过原点,计算m+n的值即可;若直线AB不过原点,设直线AB:x=ty+2,t≠0,求出相关点的坐标与向量,表示出+n,联立直线与椭圆方程的方程组,利用韦达定理,转化求解即可.

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