题目内容
【题目】已知点E(﹣2,0),点P时圆F:(x﹣2)2+y2=36上任意一点,线段EP的垂直平分线交FP于点M,点M的轨迹记为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过F的直线交曲线C于不同的A、B两点,交y轴于点N,已知 =m , =n ,求m+n的值.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知,|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6>|EF|=4,
故由椭圆定义知,点M的轨迹是以点E,F为焦点,长轴为6,焦距为4的椭圆,从而长半轴长为a=3,短半轴长为b= = ,
∴曲线C的方程为:
(Ⅱ)由题知F(2,0),
若直线AB恰好过原点,则A(﹣3,0),B(3,0),N(0,0),
∴ =(﹣3,0), =(5,0),则m= ,
=(3,0), =(﹣1,0),则n=﹣3,
∴m+n= .
若直线AB不过原点,设直线AB:x=ty+2,t≠0,
A(ty1+2,y1),B(ty2+2,y2),N(0,﹣ ).
则 =(ty1+2,y1+ ), =(﹣ty1,﹣y1),
=(ty2+2,y2+ ), =(﹣ty2,﹣y2),
由 ,得y1+ =m(﹣y1),从而m= ;
由 ,得y2+ =n(﹣y2),从而n= ;
故m+n= +( )= =﹣2﹣ .
联立方程组得: ,整理得(5t2+9)y2+20ty﹣25=0,
∴y1+y2=﹣ ,y1y2= ,
∴m+n=﹣2﹣ ═ =﹣2﹣ = .
综上所述,m+n=
【解析】(Ⅰ)求出|ME|+|MF|=6>|EF|=4,判断点M的轨迹是以点E,F为焦点,长轴为6,焦距为4的椭圆,
然后求解方程.(Ⅱ)求出F(2,0),若直线AB恰好过原点,计算m+n的值即可;若直线AB不过原点,设直线AB:x=ty+2,t≠0,求出相关点的坐标与向量,表示出+n,联立直线与椭圆方程的方程组,利用韦达定理,转化求解即可.