题目内容
【题目】已知函数,其中
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若在上存在
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)函数的单调区间与导数的符号相关,而函数的导数为,故可以根据
的符号讨论导数的符号,从而得到函数的单调区间.(2)若不等式
在
上有解,那么在
上,
.但
在
上的单调性不确定,故需分
三种情况讨论.
解析:(1),
①当时,在
上
,
在
上单调递增;
②当时,在
上
;在
上
;所以
在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述,当时,
的单调递增区间为
,当
时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)若在上存在
,使得
成立,则
在
上的最小值小于
.
①当,即
时,由(1)可知
在
上单调递增,
在
上的最小值为
,由
,可得
,
②当,即
时,由(1)可知
在
上单调递减,
在
上的最小值为
,由
,可得
;
③当,即
时,由(1)可知
在
上单调递减,在
上单调递增,
在
上的最小值为
,因为
,所以
,即
,即
,不满足题意,舍去.
综上所述,实数的取值范围为
.
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