Question

【题目】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11．

(1)求x2的系数取最小值时n的值；

(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30

【解析】试题分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的的系数,列出方程得到的关系；利用二项展开式的通项公式求出的系数，将的关系代入得到关于的二次函数，配方求出最小值；（2）通过对分别赋值，两式子相加求出展开式中的奇次幂项的系数之和.

试题解析：(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11， x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)

＝＋(11－m)＝2＋.

∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.

(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3.

∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.

设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.