题目内容
【题目】已知正项数列中,,点在抛物线上.数列中,点在经过点,以为方向向量的直线上.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,问是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)对任意的正整数,不等式成立,求正数的取值范围.
【答案】(1),;(2)存在,;(3)
【解析】
(1)将坐标代入抛物线方程得数列是等差数列,从而得通项公式,求出直线方程后可得;
(2)分类讨论,按的奇偶性分类讨论即可求解;
(3)不等式可变形为,然后设, 利用确定的单调性得其最小值,即得的取值范围.
(1)将点代入抛物线得:
数列是等差数列.
,即
为直线的方向向量直线的斜率,直线的方程为
在直线上.
(2)由题
①当是偶数时,是奇数,即,
②当是奇数时,是偶数,即(舍去).
故存在唯一的符合条件.
(3)由题,即
设,
则
,即数列是递增数列.
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