题目内容

【题目】已知正项数列中,,点在抛物线.数列中,点在经过点,以为方向向量的直线.

1)求数列的通项公式;

2)若,问是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;

3)对任意的正整数,不等式成立,求正数的取值范围.

【答案】1;(2)存在,;(3

【解析】

1)将坐标代入抛物线方程得数列是等差数列,从而得通项公式,求出直线方程后可得

2)分类讨论,按的奇偶性分类讨论即可求解;

3)不等式可变形为,然后设, 利用确定的单调性得其最小值,即得的取值范围.

(1)将点代入抛物线得:

数列是等差数列.

,即

为直线的方向向量直线的斜率,直线的方程为

在直线.

(2)由题

①当是偶数时,是奇数,

②当是奇数时,是偶数,(舍去).

故存在唯一的符合条件.

(3)由题,即

,即数列是递增数列.

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