题目内容
【题目】如图,已知四棱锥,是等边三角形,,,,,是的中点.
(Ⅰ)证明:直线平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)先证明与平面中的一条线平行,再应用线面平行的判定定理即可证得结果;
(Ⅱ)过点作交的延长线于点,过点作交的延长线于点,过点作于点,由此可推出为点到平面的距离,然后通过解直角三角形求解即可.
(Ⅰ)证明:取的中点,连接,,
在中,,分别是,的中点,
所以且,
又且,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,
所以,
又平面,平面,
故平面.
(Ⅱ)过点作交的延长线于点,过点作交的延长线于点,
由,,,
得平面,所以平面平面,
过点作于点,则平面,
由知,点到平面的距离等于,
设,则由知,,,
又,所以平面,
所以,
又,,所以,
所以,又,
,则,
,
即,解得,
在中,,,,
可得,
设直线与平面所成角为,则,
即直线与平面所成角的正弦值为.
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