Question

6．若$cos（\frac{π}{4}+x）=\frac{3}{5}$，$\frac{7}{12}π＜x＜\frac{7}{4}$π．求：
①cosx的值；
②$\frac{{sin2x+2{{sin}^2}x}}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 ①由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角差的余弦公式求得 cosx=cos[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．
②由①可得 x∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{7π}{4}$），求得 sinx的值，可得$\frac{{sin2x+2{{sin}^2}x}}{1-tanx}$=$\frac{2sinxcosx（cosx+sinx）}{cosx-sinx}$ 的值．

解答 解：①∵$cos（\frac{π}{4}+x）=\frac{3}{5}$＞0，$\frac{7}{12}π＜x＜\frac{7}{4}$π，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{2}$，2π），即 x∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{7π}{4}$），∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴cosx=cos[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
②由①可得 x∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{7π}{4}$），∴sinx=-$\sqrt{{1-cos}^{2}x}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴$\frac{{sin2x+2{{sin}^2}x}}{1-tanx}$=$\frac{2sinxcosx（cosx+sinx）}{cosx-sinx}$=$\frac{2×（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）×（-\frac{\sqrt{2}}{10}）（-\frac{\sqrt{2}}{10}-\frac{7\sqrt{2}}{10}）}{-\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于中档题．