题目内容
16.己知f(x)=x2-2x+2,在[$\frac{1}{4}$,m2-m+2]上任取三个数a,b,c,均存在以 f(a),f(b),f(c)为三边的三角形,则m的取值范围为( )A. | (0,1) | B. | [0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$) | C. | (0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$] | D. | [$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$] |
分析 先把二次函数解析式配方,然后根据自变量x的范围x∈[$\frac{1}{4}$,m2-m+2],求出f(x)的最大值和最小值,根据三角形的两边之和大于第三边,由最小值的2倍大于最大值,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范围.
解答 解:f(x)=x2-2x+2的对称轴为x=1,
在[$\frac{1}{4}$,m2-m+2]上,由于m2-m+2>1恒成立,
即有x=1处取得最小值1,
由于m2-m+2-1=m2-m+1=(m-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$=1-$\frac{1}{4}$,
即有x=m2-m+2处取得最大值,且为(m2-m+1)2+1,
不妨设f(a)=f(b)=1,f(c)=(m2-m+1)2+1,
由以 f(a),f(b),f(c)为三边的三角形,
由构成三角形的条件可得2>(m2-m+1)2+1,
解得0<m<1.
故选A.
点评 此题考查了二次函数在闭区间上的最值,以及三角形三边的关系,求出二次函数在闭区间的最大值和最小值,利用最值根据三角形的边关系列出关于m的方程是解本题的关键.
练习册系列答案
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6.若关于x的方程4-x2=|x-a|有负的实数根,则a的取值范围为( )
A. | [-$\frac{17}{4}$,$\frac{17}{4}$] | B. | (-$\frac{17}{4}$,$\frac{17}{4}$) | C. | [-$\frac{17}{4}$,4) | D. | [-$\frac{17}{4}$,4] |
1.有关下列命题的说法正确的是( )
A. | 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:若“x2=1则x≠1” | |
B. | “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 | |
C. | 命题“?x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有x2+x+1<0” | |
D. | 命题“若sinx≠siny,则x≠y”为真命题 |