题目内容
11.已知($\frac{1}{2}$)x=$\frac{2a-1}{5a+2}$,试求实数a的取值范围,使得(1)方程有解;
(2)方程有正根;
(3)方程有不小于1的解.
分析 (1)由指数函数的值域,解不等式$\frac{2a-1}{5a+2}$>0,即可得到a的范围;
(2)由x>0时,0<($\frac{1}{2}$)x<1,解不等式0<$\frac{2a-1}{5a+2}$<1,即可得到a的范围;
(3)由x≥1可得0<($\frac{1}{2}$)x≤$\frac{1}{2}$,解不等式0<$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$,即可得到a的范围.
解答 解:(1)由x∈R,即有($\frac{1}{2}$)x>0,
即为$\frac{2a-1}{5a+2}$>0,解得a>$\frac{1}{2}$或a<-$\frac{2}{5}$;
(2)由x>0时,0<($\frac{1}{2}$)x<1,
∵关于x的方程($\frac{1}{2}$)x=$\frac{2a-1}{5a+2}$有正根,
∴0<$\frac{2a-1}{5a+2}$<1,
即为$\frac{2a-1}{5a+2}$>0,且$\frac{a+1}{5a+2}$>0,
解得a>$\frac{1}{2}$或a<-1,
则有a的范围是(-∞,-1)∪($\frac{1}{2}$,+∞);
(3)由x≥1可得0<($\frac{1}{2}$)x≤$\frac{1}{2}$,
∴0<$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$,
由$\frac{2a-1}{5a+2}$>0可得a>$\frac{1}{2}$或a<-$\frac{2}{5}$,
由$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$,可得a>-$\frac{2}{5}$或a≤-4.
即有a>$\frac{1}{2}$或a≤-4.
则有a的范围是(-∞,-4]∪($\frac{1}{2}$,+∞).
点评 本题主要考查了利用指数函数的单调性求函数的值域,分式不等式的求解,属于知识的简单综合.
A. | 4 | B. | 2 | C. | ±4 | D. | 3 |
A. | (0,1) | B. | [0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$) | C. | (0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$] | D. | [$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$] |