题目内容
【题目】已知椭圆的长轴长为
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过动点的直线交
轴于点
,交椭圆
于点
,
(
在第一象限),且
是线段
的中点.过点
作
轴的垂线交椭圆
于另一点
,延长
交椭圆
于点
.
①设直线、
的斜率分别为
,证明
为定值;
②求直线斜率取最小值时,直线
的方程.
【答案】(1)(2)①详见解析②
【解析】
(1) 利用长轴长为,离心率为
分别求出
的值,再求出
的值,即可求出椭圆方程;(2) ① 设出
的坐标,表示出直线
的斜率,作比即可;②设出
的坐标,分别求出
的方程,联立方程组,求出直线
的斜率的解析式,根据不等式的性质计算出
的最小值,再求出
的值即可.
(1)由题意得:,
所以,
,
故椭圆方程为.
(2)①设,(
,
),由
,可得
,
所以直线的斜率
,直线
的斜率
此时,所以
为定值
.
②设,
,直线
的方程为
,直线
的方程为
.
联立,整理得
,
由,可得
,
同理,
.
所以,
,
,
所以,
由,
,可知
,所以
,当且仅当
时取得等号.
由,
,
在椭圆
:
上得
,
此时,即
,
由得,
,所以
时,
符合题意.
所以直线的斜率最小时,直线
的方程为
.
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练习册系列答案
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甲 | 8 | 9 | 7 | 9 | 7 | 6 | 10 | 10 | 8 | 6 |
乙 | 10 | 9 | 8 | 6 | 8 | 7 | 9 | 7 | 8 | 8 |
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差;
(2)比较两个人的成绩,然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.