题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,(i)求曲线
在点
处的切线方程;
(ii)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ)(i),(ii)递增区间是
,递减区间是
;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)(i)求出,求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(ii)分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)先利用导数证明
,则
,再利用二次函数的性质证明
,则
,从而可得结论.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,定义域为
(i)
所以切点坐标为,切线斜率为
所以切线方程为
(ii)令,
所以在
上单调递减,且
所以当时,
即
所以当时,
即
综上所述, 的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(Ⅱ)方法一:
,即
设
设
所以在
小于零恒成立
即在
上单调递减
因为
所以,
所以在上必存在一个
使得
即
所以当时,
,
单调递增
当时,
,
单调递减
所以
因为
所以
令得
因为,所以
,
因为,所以
恒成立
即恒成立
综上所述,当时,
方法二:
定义域
为了证明,即
只需证明,即
令
则
令,得
令,得
所以在
上单调递增,在
上单调递减
所以
即,则
令
因为,所以
所以恒成立
即
所以
综上所述,
即当时,
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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