题目内容
【题目】设斜率不为0的直线与抛物线
交于
两点,与椭圆
交于
两点,记直线
的斜率分别为
.
(1)求证:的值与直线
的斜率的大小无关;
(2)设抛物线的焦点为
,若
,求
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)由直线的方程与抛物线方程联立,求得,求得
,
再直线与椭圆方程联立,求得,求的
,代入化简,即可得到结论.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,由
得求得
,由(1)中
,求得弦长
,再利用点到直线的距离公式,求得点
到直线
的距离,即可得到面积的表达式,进而求解面积的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)设直线l:,
,
,
,
.
联立和
,得
,则
,
,
,
联立和
得
,
在的情况下,
,
,
,
所以 是一个与k无关的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,而由
得
得m=4(m=0显然不合题意),
此时,
,
,
,
点到直线
的距离
,
所以,
(求面积的另法:将直线l与y轴交点(0,4)记为E,则
,也可得到
)
设,则
,
当且仅当时,
有最大值
.
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练习册系列答案
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【题目】某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温 (℃)与该小卖部的这种饮料销量
(杯),得到如下数据:
日期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均气温 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据所给五组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)据(1)中所得的线性回归方程,若天气预报1月16日的白天平均气温7(℃),请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,
)