Question

如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.

（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.

Answer 1

（1）45°（2）（3）

（I）连，则平面于                      ……1分（文1分）
∴就是侧棱与底面所成的角                ……1分（文2分）

在中，

∴是等腰直角三角形                                                     
∴，即侧棱与底面所成角为45°，
（II）在等腰中，，∴，且O为AC中点，
过O作于E，连。∵平面ABCD于O，
由三垂线定理，知，                                              
∴∠是侧面与底面ABCD所成二面角的平面角。
∵∠ABC=，，∴底面ABCD是正方形。
∴。
在中，。
即所求二面角的正切值为。                                                    
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，。
∴。                                                  
∵，∴。
∵，∴平面，它们的交线是。
过O作，则。
。                                           
又∵的中点，∴点C到平面的距离。
∴。