题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
,
,
分别为
,
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题(1)连接,
, 设法证明
,即可得到
平面
;
(2)由平面
,得
,
.
以为原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
求出相关点的坐标,得到直线的方向向量和平面
的法向量,利用
即可求出直线
与平面
所成角的正弦值.
试题解析:
(1)连接,
,则
且
为
的中点,
又∵为
的中点,∴
,
又平面
,
平面
,
故平面
.…4分
(2)由平面
,得
,
.
以为原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,
则,
,
,
,
,
.
取平面的一个法向量为
,
由,
得:
,令
,得
同理可得平面的一个法向量为
∵平面平面
,∴
解得,得
,又
,
设直线与平面
所成角为
,则
.
所以,直线与平面
所成角的正弦值是
.
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