题目内容
【题目】已知函数.
(1)若时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数在
时取得极值,当
时,求使得
恒成立的实数
的取值范围;
(3)若函数在区间
上单调递减,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据函数在某点处导数的几何意义,可得切弦的斜率,利用点斜式可得结果.
(2)根据,可得
,然后利用导数判断函数
在
的单调性,并根据
的最值与
的关系,可得结果.
(3)采用等价转化的思想,可得在
恒成立,并使用分离参数,构建新函数
,根据
的最值与
的大小关系,可得结果.
(1)时,
,
,
,
,
故切线方程是:,
即;
(2),
,解得:
,
∴,
,
令,解得:
或
,
令,解得:
,
∴在
递增,在
递减,
∴的最小值是
或
,
而,
,
∴;
(3)若函数在区间
上单调递减,
则在
恒成立,
即在
恒成立,
令,
,
在
恒成立,
∴在
递减,
,
∴.
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