题目内容
【题目】在直三棱柱中,
,
,点
,
分别为棱
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析下(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,
,证明
,进而证得
得解;(2)在平面
内作
交
于点
,以
为原点,
,
、
分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.求得平面
的法向量,利用线面角的向量公式求解
(1)取的中点
,连接
,
,
则在中,
,
,
又点是
的中点,
所以.
而且,
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)在平面内作
交
于点
,
以为原点,
,
、
分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
,
所以,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则即
取,得
,
设直线与平面
所成角为
,
则.
即直线与平面
所成角的正弦值为
.
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