题目内容
【题目】在直三棱柱
中，
，
，点
，
分别为棱
，
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析下（2）
【解析】
（1）取
的中点
，连接
，
，证明
，进而证得
得解；（2）在平面
内作
交
于点
，以
为原点，
，
、
分别为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
．求得平面
的法向量，利用线面角的向量公式求解
（1）取的中点，连接，，
则在
中，
，
，
又点
是
的中点，
所以
．
而且
，
所以，
所以四边形
是平行四边形，
所以，
又
平面
，
平面，
所以
平面．
（2）在平面内作交于点，
以为原点，，、分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设
，则
，
，
，
，
，
所以
，
，
．
设平面的一个法向量为
，
则
即
取
，得
，
设直线
与平面所成角为
，
则
．
即直线与平面所成角的正弦值为．
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