题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知两定点
，
，动点
满足
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）轨迹上有两点
，
，它们关于直线
：
对称，且满足
，求
的面积.
【答案】（1）动点
的轨迹是圆，其方程为
（2）
【解析】
（1）设动点的坐标为
表示出
化简可得.
（2）根据对称，由垂径定理可得圆心
在直线
：
上，即可求出直线的方程，易知
垂直于直线，且
.设
的中点为
，则
，计算可得
，
，
的值，即可求出
的面积.
（1）设动点的坐标为，则
.
整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.
（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为
，半径
的圆，圆上两点
，
关于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得
，故直线的方程为
.
易知垂直于直线，且.
设的中点为，则
，又
，
.
∴
，
，∴
，
.
易知
，故
到
的距离等于
，∴
.
【题目】某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间
内，按
，
，
，
，
，
分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的
列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男 | 女 | 合计 | |
网购迷 | 20 | ||
非网购迷 | 45 | ||
合计 | 100 |
（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数 | 支付宝支付次数 | 银行卡支付次数 | 微信支付次数 | |
80 | 40 | 16 | 24 | |
乙 | 90 | 60 | 18 | 12 |
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为
，求的数学期望.
附：观测值公式：
临界值表：
| 0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
