题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,已知四边形
为矩形,
,
,
,
的角平分线
交
于
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)过点作
交
于
,连接
,设
,连接
,由角平分线的性质,正方形的性质,三角形的全等,证得
,
,由线面垂直的判断定理证得
平面
,再由面面垂直的判断得证.
(2)平面几何知识和线面的关系可证得平面
,建立空间直角坐标系
,求得两个平面的法向量,根据二面角的向量计算公式可求得其值.
(1)如图,过点作
交
于
,连接
,设
,连接
,
,
,
又为
的角平分线,
四边形
为正方形,
,
又,
,
,
,
,又
为
的中点,
又平面
,
,
平面
,
又平面
,
平面
平面
,
(2)在中,
,
,
,在
中,
,
,
又,
,
,
,
又,
,
平面
,
平面
,
故建立如图空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,则
,
,
令,得
,
设平面的一个法向量为
,则
,
,令
,得
,由图示可知二面角
是锐角,
故二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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