Question

2．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，M、N分别是PC、AB中点，请选择适当的坐标系证明：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，用坐标表示出向量$\overrightarrow{NM}$、$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{PD}$，
用数量积求出$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{PD}$，从而证明MN⊥平面PCD．

解答 证明：根据题意，分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
如图所示；
则O（0，0，0），N（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，1），M（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{NM}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），
$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1），
∴$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{CD}$=0×（-2）+$\frac{1}{2}$×0+$\frac{1}{2}$×0=0，∴$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{CD}$，
$\overrightarrow{NM}$•$\overrightarrow{PD}$=0×0+$\frac{1}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×（-1）=0，∴$\overrightarrow{NM}$⊥$\overrightarrow{PD}$，
即MN⊥CD，MN⊥PD，且PD∩CD=D，
又PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD．

点评 本题考查了空间向量的应用问题，也考查了利用向量的坐标运算证明线面垂直问题，是基础题目．