Question

【题目】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．

（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求三棱锥E﹣FCB1的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，

∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，又AB∩BC1=B

∴B1C⊥平面ABC1D1，

∴B1C⊥BD1，

又∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF∥BD1，

∴EF⊥B1C

（2）解：∵CF⊥平面BDD1B1，

∴CF⊥平面EFB1，

由已知得CF=BF= ，

∵EF= BD1， ， = ，

∴ ，即∠EFB1=90°，

∴ = =

【解析】（1）由已知在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点，可得B1C⊥AB，B1C⊥BC1 ， 进一步得到B1C⊥平面ABC1D1 ， 进而B1C⊥BD1 ， 再由中位线定理即可得到EF⊥B1C；（2）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1 ， 由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后由等积法把三棱锥E﹣FCB1的体积转化为C﹣B1EF的体积求解．