题目内容
【题目】如图四棱锥
的底面
为菱形，且
， 
， 
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析;（2）
.
【解析】试题分析：（1）取
中点
，连结
， 
，依题意，可证
平面
，从而可证得平面
平面
；（2）由（1）
、
、
两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，可求得各点坐标，求出面
的法向量为
，面
的一个法向量为
，求出向量的夹角即可.
试题解析：（1）证明：取
中点
，连结
， 
，由
， 
，知
为等腰直角三角形，
， 
，由
， 
，知
为边三角形， 
，
由
得
， 
，又
， 
、
平面
平面
，又
平面
， 
平面
平面
.
（2）由（1）
、
、
两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则
， 
， 
，
， 
，设平面
的法向量为
，则
，取
，
则
，又平面
的一个法向量为
，
设二面角
的大小为
，
易知其为锐角， 
，
二面角
的余弦值为
.
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【题目】某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的选修情况，如表：
科目 学生人数 | A | B | C |
120 | 是 | 否 | 是 |
60 | 否 | 否 | 是 |
70 | 是 | 是 | 否 |
50 | 是 | 是 | 是 |
150 | 否 | 是 | 是 |
50 | 是 | 否 | 否 |
（Ⅰ）试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修2门课的概率．
（Ⅱ）若该高三某学生已选修A，则该学生同时选修B、C中哪门的可能性大？