Question

【题目】已知函数．

求的单调区间和极值；

当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先求得导函数，根据导数对a分类讨论即可判断单调区间和极值的情况。

（2）把a=1代入函数，去证明函数只有1个零点，转化为证明方程只有1个正实数根。通过分离参数k，研究新函数的导数，根据导数的单调性讨论在a的不同取值时的情况即可。

解：函数的定义域为，，

当时，，在定义域上单调递增，无极值；

当时，由，得，

当时，，得的单调递增区间是；

当时，，得的单调递减区间是，

故的极大值为，无极小值．

证明：当时，函数，

欲证对任意的，函数有且只有一个零点，

即证方程有且只有一个正实数根，

由，得，

令，则，

令，则，

由，得，

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减，

所以，

于是，则在上单调递减．

设，则，由，得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增，

所以，即当时，，

所以当时，，

对任意的，有

当时，，有；

当时，有，

又在上单调递减，所以存在唯一的，有；

当时，，有，

当时，有，

又在上单调递减，所以存在唯一的，有，

综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，

即函数有且只有一个零点．