Question

【题目】设(e为自然对数的底数)，．

(I)记，讨论函单调性；

(II)令，若函数G(x)有两个零点．

(i)求参数a的取值范围；

(ii)设的两个零点，证明．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)（i）a>0; (ii)见解析

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）（i）求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的零点的个数，求出a的范围即可；

（ii）根据a的范围，得到，令m＞0，得到F （-1+m）﹣F（﹣1﹣m）（e2m+1），再令φ（m）e2m+1，根据函数的单调性证明即可．

（Ⅰ），

，所以

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

（Ⅱ）由已知，，

．

①当时，，有唯一零点；

②当时，，所以

当时，，减；

当时，，增．

所以，

因，所以当时，有唯一零点；

当时，，则，所以，

所以，

因为，

所以，，，且，当，时，使，

取，则，从而可知

当时，有唯一零点，

即当时，函数有两个零点．

③当时，，由，得，或．

若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点；

若，即时，，注意到，都是增函数，所以

当时，，是单调减函数；

当时，，是单调增函数；

当时，，是单调减函数．

又因为，所以

至多有一个零点；

若，即时，同理可得

当时，，是单调减函数；

当时，，是单调增函数；

当时，，是单调减函数．

又因为，所以至多有一个零点．

综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．

由知，函数有两个零点，则参数的取值范围是．

，是的两个零点，则有

，

因，则，且，，，，，

由（Ⅰ）知，当时，是减函数；当时，是增函数．

令，，

再令φ（m）e2m+1＝e2m1，，

，

所以，又，所以

时，恒成立，即

恒成立，

令，即，有，即

，

因为，所以，又，必有，

又当时，是增函数，所以，即

．