Question

将圆按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使=λa，求直线l的方程及对应的点C的坐标．

Answer 1

直线l的方程为2x－4y＋5＝0，对应的C点的坐标为（－1，2）；或直线l的方程为2x－4y－5＝0，对应的C点的坐标为（1，－2）．

圆化为标准方程为，
按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程为x²＋y²＝5．
∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a．
∴k_AB＝．设直线l的方程为y＝x＋m，联立，得
将方程（1）代入（2），整理得5x²＋4mx＋4m²－20＝0．（※）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝，＝（－，）．
因为点C在圆上，所以，解之，得．
此时，（※）式中的△＝16m²－20(4m²－20)＝300＞0．
所求的直线l的方程为2x－4y＋5＝0，对应的C点的坐标为（－1，2）；或直线l的方程为2x－4y－5＝0，对应的C点的坐标为（1，－2）．