Question

12．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=$\frac{2{S}_{n}^{2}}{2S{\;}_{n}-1}$（n≥2）其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a_n=$\frac{2{S}_{n}^{2}}{2S{\;}_{n}-1}$（n≥2），a_n=S_n-S_n-1，代入可得$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2．利用等差数列的通项公式可得S_n，进而得到a_n．

解答 解：∵a_n=$\frac{2{S}_{n}^{2}}{2S{\;}_{n}-1}$（n≥2），a_n=S_n-S_n-1，
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=$2{S}_{n}^{2}$．
化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2．
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴当n≥2时，a_n=$\frac{2（\frac{1}{2n-1}）^{2}}{2×\frac{1}{2n-1}-1}$=$\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}$．
当n=1时上式不成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推式的应用，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．