题目内容
20．
“十一黄金周”期间某市再次迎来了客流高峰，小李从该市的A地到B地有L1、L2两条路线（如图），L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到堵塞的概率均为$\frac{2}{3}$；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到堵塞的概率依次为$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{5}$．（1）若走L1路线，求最多遇到1次堵塞的概率；
（2）按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求，请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线，并说明理由．
分析 （1）走路线L1最多遇到1次红灯为事件A，分为两种情况，一种是3次都没有遇到红灯，一种是只有一次遇到红灯，计算出即可；
（2）由题意可得，走L2路线，遇到堵塞的次数为X，X可能取值为0，1，2．利用独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出概率，设选择路线L1遇到红灯次数为Y，则Y～B（3，$\frac{2}{3}$），利用公式计算出EX，EY，比较即可得到答案．
解答 解：（1）设走L1路线，最多遇到1次堵塞为A事件，
则P（A）=${C}_{3}^{1}$×$（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{7}{27}$，
故走L1路线，最多遇到1次堵塞的概率为$\frac{7}{27}$；
（2）设走L2路线，遇到堵塞的次数为X，则X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
则EX=$\frac{1}{10}×0+\frac{9}{20}×1+\frac{9}{20}×2$=$\frac{27}{20}$，
设走L1路线，遇到堵塞的次数为Y，则Y服从二项分布，Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
则EY=3×$\frac{2}{3}$=2，
由于EX＜EY，故L2路线是最好的出行路线．
点评 熟练掌握独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式、分类讨论思想方法、二项分布概率计算公式是解题的关键．
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
| A． | $\sqrt{37}$ | B． | 5 | C． | $\sqrt{13}$ | D． | 7 |