题目内容
【题目】如图在四面体中,
是边长为2的等边三角形,
为直角三角形,其中
为直角顶点,
.
分别是线段
上的动点,且四边形
为平行四边形.
(1)求证:平面
,
平面
;
(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中,线段
在平面
上的投影所扫过的平面区域的面积;
(3)设,且
为等腰三角形,当
为何值时,多面体
的体积恰好为
?
【答案】(1)见解析 (2) (3)
【解析】
(1)先通过线面平行的判定定理,证得平面
,通过线面平行的性质定理,证得
,由此证得
平面
;同理证得
平面
.
(2)画出为
、
时
的投影,由此判断出线段
在平面
上的投影所扫过的平面区域,进而求得区域的面积.
(3)先求得三棱锥的面积为
,通过分割的方法,得到
,分别求得
与
的关系式,再由
列方程,解方程求得
的值.
(1)∵四边形为平行四边形,
∴.而
面
,
面
,
∴面
.而
面
,面
面
,
∴∥
.而
面
,
面
,
∴∥平面
.同理,
∥平面
;
(2)∵,
∴在平面
上的投影满足
,即
在线段
的中垂线上.
如图所示,将补成边长为
的正
,
当二面角为
角时,即点
在平面
上,此时
为
,
当二面角为
角时,此时
为
中点
,
故在平面
上的投影所扫过的平面区域为
,而
,
故线段在平面
上的投影所扫过的平面区域的面积为
;
(3)∵,
,且
为等腰三角形,∴
.
取中点
,易得:
,
,
,
满足:,根据勾股定理可知
.
∴平面
.∴
.
而多面体的体积恰好为
,即多面体
的体积恰为四面体
体积的一半.
连接.
,∴
.
,∴
.
∴,
∴,整理:
,即
,
解得:(
舍去).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积
的数据:
房屋面积( | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
销售价格(万元) | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
(1)画出数据对应的散点图;
(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线;
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150时的销售价格.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
【题目】为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数 | |||||
甲班频数 | 5 | 6 | 4 | 4 | 1 |
乙班频数 | 1 | 3 | 6 | 5 | 5 |
(1)由以上统计数据填写下面列联表,并判断能否在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优良 | |||
成绩不优良 | |||
总计 |
附:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为,求
的分布列及数学期望.