题目内容
【题目】如图两个同心球，球心均为点
，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段
与
是夹在两个球体之间的内弦，其中
两点在小球上，
两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体
的体积达到最大值时，此时异面直线
与
的夹角为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为
，内切球和外接球的表面积之比为
，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体
体积最大时，
的位置关系，作出异面直线
所成的角
，解直角三角形求得
.
设正方体的边长为
，则其内切球半径为
，外接球的半径为
，所以内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意
最长为
，
最长为小球的直径.由于三角形的面积
，若
为定值，则
时面积取得最大值.画出图像如下图所示，其中
分别是所在正方形的中心，
是正方体内切球与外接球的球心.
.由于
，故此时四面体
的体积最大.
由于
，所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
是异面直线
和
所成的角.所以
由于
，设
是
的中点，则
，所以
，所以
.
故选：A
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