题目内容
【题目】已知函数
，其中
为自然对数的底数
(1).讨论函数
的单调性；
(2).若不等式
对任意的
恒成立，求
的最大值.
【答案】(1) 当
时， 
在
上单调递增；当
时， 
在
上单调递减，在
上单调递增;(2) 
的最大值为
.
【解析】试题分析：（1）求导
，再分
两种情况讨论，并利用导数工具求得正解；（2）由（1）可知，若
，无最小值，与题意矛盾，舍去；当
， 
在
上的最小值为
，原命题转化为
令
，再利用导数工具求得
.
试题解析：（1）
， 
， 
，
①当
时， 
， 
在
上单调递增；
②当
时，令
，得
，
x |
|
|
|
|
| 0 |
|
| ↘ | 极小值 | ↗ |
综上所述，当
时， 
在
上单调递增；当
时， 
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由（1）可知，若
，函数
在
上单调递增， 
在
上无最小值，与题意矛盾，舍去；
所以
， 
在
上单调递减，在
上单调递增， 
在
上的最小值为
．
因为不等式
对任意
都成立，
所以
，其中
，
故
， 
，
令
， 
， 
，
令
，解得
，
m |
|
|
|
|
| 0 |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ |
所以
，故
，
即
的最大值为
．
【题目】随着网络的发展，人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐．为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户，按年龄分组进行访谈，统计结果如右表．
组 号 | 年龄 | 访谈 人数 | 愿意 使用 |
1 | [18，28） | 4 | 4 |
2 | [28，38） | 9 | 9 |
3 | [38，48） | 16 | 15 |
4 | [48，58） | 15 | 12 |
5 | [58，68） | 6 | 2 |
（Ⅰ）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，则各组应分别抽取多少人？
（Ⅱ）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．
（Ⅲ）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以48岁为分界点，能否在犯错误不超过1％的前提下认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关？
年龄不低于48岁的人数 | 年龄低于48岁的人数 | 合计 | |
愿意使用的人数 | |||
不愿意使用的人数 | |||
合计 |
参考公式：
，其中：n＝a＋b＋c＋d．
P（k2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
