题目内容
【题目】已知函数
， 
.
（1）若
存在极值点1，求
的值；
（2）若
存在两个不同的零点，求证： 
（
为自然对数的底数， 
）.
【答案】(1) 
；(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）由
存在极值点为1，得
，可解得a.
（2）函数的零点问题，实质是对函数的单调性进行讨论， 
时， 
在
上为增函数（舍）；当
时，当
时， 
增，当
时， 
为减，又因为
存在两个不同零点，所以
，解不等式可得.
试题解析：(1) 
，因为
存在极值点为1，所以
，即
，经检验符合题意，所以
.
(2) 
①当
时， 
恒成立，所以
在
上为增函数，不符合题意；
②当
时，由
得
，
当
时， 
，所以
为增函数，
当
时， 
，所
为增函减数，
所以当
时， 
取得极小值
又因为
存在两个不同零点，所以
，即
整理得
，令
， 
， 
在定义域内单调递增， 
，由
知
，故
成立.
练习册系列答案
相关题目
【题目】（本小题12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2．5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
]
组别 | PM2.5浓度（微克/立方米） | 频数（天） | 频率 |
第一组 |
| 3 | 0.15 |
第二组 |
| 12 | 0.6 |
第三组 |
| 3 | 0.15 |
第四组 |
| 2 | 0.1 |
（Ⅰ）从样本中PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2．5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
