题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,点
为坐标原点,若椭圆
与曲线
的交点分别为
(
下
上),且
两点满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任一点
,作
的两条切线,切点分别为
,且直线
在
轴、
轴上的截距分别为
,证明:
为定值.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)设,然后根据向量数量积求得
的值,再结合离心率求得
的值,由此求得椭圆方程;(2).设点
,然后根据条件求得
的方程,从而求得直线
在
轴、
轴上的截距为
,进而使问题得证.
试题解析:(1)设椭圆的半焦距为
,设
,则
,
由,得
,∴
,①
又椭圆的离心率为
,所以
,②
又,③
由①②③,解得,
故椭圆的标准方程为
................................... 6分
(2)如图,设点,由
是
的切点知,
,
所以四点在同一圆上,且圆的直径为
,
则圆心为,其方程为
,
即,④
即点满足话中④,又点
都在
上,
所以坐标也满足方程
,⑤
⑤-④得直线的方程为
,
令,得
;令
,得
,所以
,
又点在椭圆
上,所以
,即
中,
即,即
为定值.........................12分

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