Question

【题目】已知椭圆：，动直线过定点且交椭圆于，两点（，不在轴上）.

（1）若线段中点的纵坐标是，求直线的方程；

（2）记点关于轴的对称点为，若点满足，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设，，直线：，直线方程与椭圆方程联立消元得的二次方程，由判别式得的取舍范围，由韦达定理得，利用中点纵坐标是可求得，只要满足即可；

（2）由题意，，说明，，三点共线，即.这样可求出，化为只含的式子后代入（1）中的就可求得．

（1）设，，直线：.

由消去得.

，解得或.

由韦达定理得，.①

∵中点的纵坐标是，

∴，代入①解得或.

又或，得.

∴直线的方程为.

（2）由题意得，

由，知，，三点共线，

即.

∴，

即，

解得.

将，，代入得.②

由①有，.③

将③代入②得到.