题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求函数
的值域;
(2)若对任意,恒有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)若,则
,根据
和
得到分段函数,进而可得
的值域;
(2)对任意,恒有
,即
恒成立,
,
则对任意
,
恒成立,构造函数
和函数
讨论即可.
(1)当时,
,即
当时,
,
此时,
当时,
,
此时,
综上:的值域为
.
(2)对任意,恒有
,即
恒成立,所以
,
所以对任意
,
恒成立,
设,对任意
,
恒有
,
因为开口向上,其对称轴为
的二次函数,则
在区间
上单调递增,
所以,解得
,
故对任意,
恒有
时
的取值范围为
设,对任意
,
恒有
,因
为开口向上,其对称轴为
的二次函数,
当,即
时,
在区间
上单调递增,
所以,解得
,所以
,
当,即
时,
在区间
上单调递减,
所以,解得
,所以
,
当,即
时,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以 ,解得
或
(舍)
所以,故对任意
,
,
时
的取值范围为
综上对任意,恒有
时,
的取值范围为
.
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