题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为
，过椭圆
的右焦点作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点，线段
的中点为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点垂直于的直线与
轴交于点
，且
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可得出椭圆方程；（2）先设直线方程
，联立椭圆方程求点P坐标，根据已知条件求出直线DP的方程，又
，根据两点间距离公式，即可求得
的值.
(1)过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为
，设右焦点的坐标为
，依题意知，
，又
，解得
，
∴椭圆
的方程为.
(2)设过椭圆的右焦点的直线
的方程为，
将其代入中得，
，
设
，则
，
∴
，
∵
为线段
的中点，∴点的坐标为
，又直线
的斜率为
，
直线的方程为
，
令
得，
，由点
的坐标为
，
∴
,
∴
∴
，∴.
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