Question

13．已知圆M：4x²+4y²+8x+16y-5=0直线l：x+y-1=0，△ABC的顶点A在直线l上，顶点B，C都在圆M上，且边AB过圆心M，∠BAC=45°，则点A横坐标的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 圆的方程化为标准方程，设A（a，1-a），①当a≠1时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围；②当a=1时，则A（-1，0）与直线x=1成45°角的直线有x-y+1=0，或x+y-1=0，判断这样点C不在圆M上成立．

解答 解：圆M：4x²+4y²+8x+16y-5=0方程可化为（x+1）²+（y+2）²=（$\frac{5}{2}$）²，
设A点的横坐标为a，则纵坐标为1-a；
①当a≠1时，k_AB=$\frac{3-a}{a+1}$，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=$\frac{2}{a-1}$，
直线AC的方程为y-（1-a）=$\frac{2}{a-1}$（x-a）
即2x-（a-1）y-a²-1=0，
又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即$\frac{|-2+2a-2-{a}^{2}-1|}{\sqrt{4+（a-1）^{2}}}$≤$\frac{5}{2}$，
化简得4a²-8a-5≤0，解得-2≤a≤$\frac{5}{2}$；
②当a=1时，则A（-1，0）与直线x=-1成45°角的直线为x-y+1=0，或x+y+1=0
M到x-y+1=0的距离d=$\frac{|-1+2+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＞$\frac{5}{2}$，这样点C不在圆M上，
同理x+y+1=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为-2≤a≤$\frac{5}{2}$，
∴点A横坐标的最大值为$\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，考查直线中的到角公式，点到直线的距离，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．