Question

3．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4；
（2）若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，由f（x）≥4得$\left\{{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-2x≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{1≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-3≥4}\end{array}}\right.$，从而解得；
（2）由不等式的性质得f（x）≥|a-1|，从而化恒成立为|a-1|≥a，从而解得．

解答 解：（1）当a=2时，由f（x）≥4得，
|x-1|+|x-2|≥4，
即$\left\{{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-2x≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{1≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-3≥4}\end{array}}\right.$，
解得：$x≤-\frac{1}{2}$，或$x≥\frac{7}{2}$；
故原不等式的解集为$\left\{{x\left|{x≤-\frac{1}{2}，}\right.}\right.$或$\left.{x≥\frac{7}{2}}\right\}$．
（2）由不等式的性质得：f（x）≥|a-1|，
要使不等式f（x）≥a恒成立，
则只要|a-1|≥a，
解得：$a≤\frac{1}{2}$，
所以实数a的取值范围为$（{-∞，\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查了绝对值不等式的应用及恒成立问题的处理方法．