Question

3．（1）已知不等式|2x+t|-t≤8的解集是{x|-5≤x≤4}，求实数t；
（2）已知实数x，y，z满足x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{9}$z²=2，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析 （1）由不等式|2x+t|-t≤8求得它的解集，再根据它的解集是{x|-5≤x≤4}，求得实数t的值．
（2）由条件利用柯西不等式求得x+y+z的最大值．

解答 解：（1）由不等式|2x+t|-t≤8，可得-8-t≤2x+t≤t+8，求得-4-t≤x≤4．
结合它的解集是{x|-5≤x≤4}，可得实数t=1．
（2）∵实数x，y，z满足x²+$\frac{1}{4}$y²+$\frac{1}{9}$z²=2，
利用柯西不等式得[x²+${（\frac{y}{2}）}^{2}$+${（\frac{z}{3}）}^{2}$]•[1+4+9]=2×14≥（x+y+z）²，
求x+y+z≤$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，故x+y+z的最大值为2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．