Question

18．棱长为3的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，求图中三角形的面积、该球的表面积和体积．

Answer 1

分析 将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积．棱长为3的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，其直径为$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，即可求出该球的表面积和体积．

解答 解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，
已知正四面体棱长为3，
所以AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AC=$\frac{3}{2}$，
所以CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
截面面积是：$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
棱长为3的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，其直径为$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
半径为$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
所以球的表面积为$\frac{27}{2}π$，体积为$\frac{27}{8}\sqrt{6}π$．

点评 本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题．