题目内容
．(本小题满分13分)
已知椭圆
的焦点为
，
，
离心率为
，直线
与
轴，
轴分别交于点
，
．
（Ⅰ）若点是椭圆
的一个顶点，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若线段
上存在点
满足
，求
的取值范围．
已知椭圆
的焦点为，， 离心率为
，直线与轴，轴分别交于点，．（Ⅰ）若点
是椭圆的一个顶点，求椭圆的方程；（Ⅱ）若线段
上存在点满足，求的取值范围．解法一：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，故
， …………………1分
由
，得
， ∴
， …………………4分
所以所求的椭圆方程为
. …………………5分
（Ⅱ）由
，可设椭圆方程为
，
联立
得
， …………………7分
已知线段上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，
等价于方程在
上有解.………………9分
∴
，
由，故
，
故所求的的取值范围是
. …………………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）由，设椭圆方程为
，
联立
得
， …………………7分
已知线段上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，
等价于方程在
有解. …………………9分
设
，
∴
，解得
∴，
故所求的的取值范围是. …………………13分
，故， …………………1分由
，得， ∴， …………………4分所以所求的椭圆方程为
. …………………5分（Ⅱ）由
，可设椭圆方程为，联立
得， …………………7分已知线段
上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，等价于方程
在上有解.………………9分∴
， 由
，故，故所求的
的取值范围是. …………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）由
，设椭圆方程为，联立
得， …………………7分已知线段
上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，等价于方程
在有解. …………………9分设
，∴
，解得∴
，故所求的
的取值范围是. …………………13分略
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.
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：
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：
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.
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+
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