题目内容
.(本小题满分13分)
已知椭圆的焦点为,,
离心率为,直线与轴,轴分别交于点,.
(Ⅰ)若点是椭圆的一个顶点,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若线段上存在点满足,求的取值范围.
已知椭圆的焦点为,,
离心率为,直线与轴,轴分别交于点,.
(Ⅰ)若点是椭圆的一个顶点,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若线段上存在点满足,求的取值范围.
解法一:(Ⅰ)由椭圆的离心率为,故, …………………1分
由,得, ∴, …………………4分
所以所求的椭圆方程为. …………………5分
(Ⅱ)由,可设椭圆方程为,
联立得, …………………7分
已知线段上存在点满足,即线段与椭圆有公共点,
等价于方程在上有解.………………9分
∴,
由,故,
故所求的的取值范围是. …………………13分
解法二:(Ⅰ)同解法一;
(Ⅱ)由,设椭圆方程为,
联立得, …………………7分
已知线段上存在点满足,即线段与椭圆有公共点,
等价于方程在有解. …………………9分
设,
∴,解得
∴,
故所求的的取值范围是. …………………13分
由,得, ∴, …………………4分
所以所求的椭圆方程为. …………………5分
(Ⅱ)由,可设椭圆方程为,
联立得, …………………7分
已知线段上存在点满足,即线段与椭圆有公共点,
等价于方程在上有解.………………9分
∴,
由,故,
故所求的的取值范围是. …………………13分
解法二:(Ⅰ)同解法一;
(Ⅱ)由,设椭圆方程为,
联立得, …………………7分
已知线段上存在点满足,即线段与椭圆有公共点,
等价于方程在有解. …………………9分
设,
∴,解得
∴,
故所求的的取值范围是. …………………13分
略
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