题目内容
(本小题满分12分)已知椭圆过点A(a,0),B(0,b)的直
线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率小于零的直线过点D(1,0)与椭圆交于M,N两点,若求直线MN的方程;
(3)是否存在实数k,使直线交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。
线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率小于零的直线过点D(1,0)与椭圆交于M,N两点,若求直线MN的方程;
(3)是否存在实数k,使直线交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。
解:(Ⅰ)由, ,得,,
所以椭圆方程是:……………………3分
(Ⅱ)设MN:代入,得,
设,由,得.
由,……………………6分
得,,(舍去)
直线的方程为:即……………………8分
(Ⅲ)将代入,得(*)
记,,为直径的圆过,则,即
,又,,得
………①
又,代入①解得……………11分
此时(*)方程,存在,满足题设条件.…………12分
所以椭圆方程是:……………………3分
(Ⅱ)设MN:代入,得,
设,由,得.
由,……………………6分
得,,(舍去)
直线的方程为:即……………………8分
(Ⅲ)将代入,得(*)
记,,为直径的圆过,则,即
,又,,得
………①
又,代入①解得……………11分
此时(*)方程,存在,满足题设条件.…………12分
略
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