Question

20．设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：①a＞0且-2＜$\frac{a}{b}$＜-1；②方程f（x）=0在（0，1）内有两个实数根．

Answer 1

分析 ①先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和$\frac{a}{b}$的范围即可．
②欲证明方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根，根据根的存在性定理，只须证明某一个函数值小于0即可，最后只须证明在二次函数顶点处的函数值小于0即可．

解答 证明：①因为f（0）＞0，f（1）＞0，
所以c＞0，3a+2b+c＞0．
由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
故-2＜$\frac{a}{b}$＜-1；
②抛物线f（x）=3ax²+2bx+c的顶点坐标为（-$\frac{b}{3a}$，$\frac{3ac-{b}^{2}}{3a}$），
在-2＜$\frac{a}{b}$＜-1的两边乘以-$\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{3}$＜-$\frac{b}{3a}$＜$\frac{2}{3}$．
又因为f（0）＞0，f（1）＞0，
而f（-$\frac{b}{3a}$）=-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{3a}$＜0，
所以方程f（x）=0在区间（0，-$\frac{b}{3a}$）与（-$\frac{b}{3a}$，1）内分别有一实根．
故方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．

点评 本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．