Question

【题目】（Ⅰ）求平行于直线x﹣2y+1=0，且与它的距离为2 的直线方程； （Ⅱ）求经过两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P，且与直线l3：2x+3y+1=0垂直的直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设与直线x﹣2y+1=0平行的直线方程为x﹣2y+c=0， 在直线x﹣2y+1=0上任取一点P（1，1），
依题意P到直线x﹣2y+c=0的距离为 ，解得：c=11或c=﹣9
所求直线方程为：x﹣2y+11=0或x﹣2y﹣9=0
（Ⅱ）法一：由方程组 ，得 ，
即P（0，2）．l3：2x+3y+1=0的斜率为
∵l⊥l3 ， ∴ ，（l3斜率（1分），k3k=﹣（11分），结论1分）
∴直线l的方程为 ，
即l：3x﹣2y+4=0．
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x﹣2y+4+λ（x+y﹣2）=0，
即（1+λ）x+（λ﹣2）y+4﹣2λ=0．l3：2x+3y+1=0的斜率为
∵l⊥l3 ， ∴ ，
∴3（λ﹣2）+2（λ+1）=0，
∴λ= ，
∴直线l的方程为3x﹣2y+4=0，（对照解法一相应给分）
【解析】（Ⅰ）根据直线平行和平行线的距离求出满足条件的直线方程即可；（Ⅱ）法一：根据方程组求出P的坐标，结合直线垂直的关系求出满足条件的直线方程即可； 法二：根据直线平行，设直线l的方程为x﹣2y+4+λ（x+y﹣2）=0，根据直线的垂直关系求出直线的斜率，求出参数的值，从而求出直线方程即可．