Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
=（2，2，0）， =（0，1，1）．
设平面BDE的法向量为 =（x，y，z），
则 ，令z=1，得y=﹣1，x=1．∴平面BDE的一个法向量为 =（1，﹣1，1）．
又∵C（0，2，0），A（2，0，0）， =（﹣2，2，0），且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为 =（1，﹣1，0）．
设二面角E﹣BD﹣P的平面角为α，
则cosα= = = ．
∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值为 ．

【解析】以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由此能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值．