题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=AB=2,E为PC中点.求二面角E﹣BD﹣P的余弦值.
【答案】解:以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1), =(2,2,0),
=(0,1,1).
设平面BDE的法向量为 =(x,y,z),
则 ,令z=1,得y=﹣1,x=1.∴平面BDE的一个法向量为
=(1,﹣1,1).
又∵C(0,2,0),A(2,0,0), =(﹣2,2,0),且AC⊥平面PDB,
∴平面PDB的一个法向量为 =(1,﹣1,0).
设二面角E﹣BD﹣P的平面角为α,
则cosα= =
=
.
∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值为 .
【解析】以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由此能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值.
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