题目内容
【题目】已知圆C:x2+y2﹣8y+12=0,直线l经过点D(﹣2,0),且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程;
(2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围.
【答案】
(1)解:将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+(y﹣4)2=4,
则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.
所以CD的中点E(﹣1,2),|CD|= ,
∴r= ,
故所求圆E的方程为(x+1)2+(y﹣2)2=5.
(2)解:直线l的方程为y﹣0=k(x+2),
即kx﹣y+2k=0.
若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离 ,解得k<
.
【解析】(1)求出圆的圆心,然后求以线段CD为直径的圆E的圆心与半径,即可求出方程;(2)通过直线l与圆C相离,得到圆心到直线的距离大于半径列出关系式,求k的取值范围.
【考点精析】掌握圆的一般方程是解答本题的根本,需要知道圆的一般方程的特点:(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy这样的二次项;(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了;(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.
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